经过前面一篇对函子(Functor)的铺垫，我们现在可以看看什么是自函子(Endofunctor)了，从范畴的定义看很简单：
自函子就是一个将范畴映射到自身的函子 (A functor that maps a category to itself)
这句话看起来简单，但有个问题，如何区分自函子与Identity函子？让我们先从简单的“自函数”来看。
自函数(Endofunction)
自函数是把一个类型映射到自身类型，比如Int=>Int, String=>String 等
注意自函数与Identity函数的差异，Identity函数是什么也不做，传入什么参数返回什么参数，它属于自函数的一种特例；自函数是入参和出参的类型一致，比如 (x:Int) => x * 2 或 (x:Int) => x * 3 都属于自函数：
自函子(Endofunctor)
自函子映射的结果是自身，下图是一个简单的情况:
假设这个自函子为F，则对于 F[Int] 作用的结果仍是Int，对于函数f: Int=>String 映射的结果 F[f] 也仍是函数f，所以这个自函子实际是一个Identity函子(自函子的一种特例)，即对范畴中的元素和关系不做任何改变。
那怎么描述出一个非Identity的自函子呢？在介绍范畴在程序上的用法的资料里通常都用haskell来举例，把haskell里的所有类型和函数都放到一个范畴里，取名叫Hask，那么对于这个Hask的范畴，它看上去像是这样的：
先来解释一下（画这个图的时候做了简化），A,B代表普通类型如String,Int,Boolean等，这些(有限的)普通类型是一组类型集合，还有一组类型集合是衍生类型(即由类型构造器与类型参数组成的)，这是一个无限集合(可以无限衍生下去)。这样范畴Hask就涵盖了haskell中所有的类型。
对于范畴Hask来说，如果有一个函子F，对里面的元素映射后，其结果仍属于Hask，比如我们用List这个函子：
List[A], List[List[A]], List[List[List[A]]]...
发现这些映射的结果也是属于Hask范畴(子集)，所以这是一个自函子，实际上在Hask范畴上的所有函子都是自函子。
我们仔细观察这个Hask范畴的结构，发现它实际是一个fractal结构，所谓fractal(分形)，是个很神奇的结构，在自然界也大量存在：
如上面的这片叶子，它的每一簇分支，形状上与整体的形状是完全一样的，即局部与整体是一致的结构(并且局部可以再分解下去)
这种结构在函数式语言里也是很常用的，最典型的如List结构，由head和tail 两部分组合而成，而每个tail也是一个List结构，可以递归的分解下去。
讨论范畴的时候最重要的就是明确范畴里的对象是什么、对像间的关系（态射、箭头）又是什么。
我有一个疑问：真的可以根据对象的构造方式而不是对象本身来区分范畴吗？或者说对象的构造方式也是对象的属性？
例如这里讨论的对象都是proper type，没有讨论态射，那么从范畴C3和C4里的对象和态射来看，他们其实都是对象为proper type的范畴。
对于自函子，我是对比着自函数来理解的，今天在微博上跟九爪交流了一下，发觉我理解的有问题。不应该按照范畴的kind来给范畴分类，这篇blog稍后我会修改一下。
这篇blog已经更新。
“假设这个自函子为F，则对于 F[Int] 作用的结果仍是Int，对于函数f: Int=>String 映射的结果 F[f] 也仍是函数f，所以这个自函子实际是一个Identity函子(自函子的一种特例)，即对范畴中的元素和关系不做任何改变。”
这一段写得很难以理解
理解自函子的话，可以先降一个维度，对比一个 返回自身结果的函数，传给它什么，返回的也是什么。
只不过 函子(Functor) 是面向类型编程的，F[_] 是一个函子的话，它可以把 String 映射为 F[String]，
把 Int=>String 映射为 F[Int=>String] ，如果一个函子 F[_] 对 Int 映射的结果 F[Int] 也等价于 Int 那么它就是个自函子。
其实理解Hask那张图，比单纯理解那句话更简单。那张图的描述更接近我们实际使用的场景，比如Some(1).flatMap(i => Some(i + 1))。而那张图描述的是一种特殊的自函子。
恒等函子Identity functor：把范畴中的对象和态射都对应到其自身。
这里的例子里面就是
‘类型int’（对象）映射到自己，
‘函数f：int=>string’（态射）映射到自己，
这2个过程的形式表达就是F[Int]和F[f]。
这个映射过程中函子做了件看起来很无聊的事情，实现了一个自身到自身的映射，也就是恒等。